Фамилия Кигигха — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает со звучанием, но при этом её происхождение неочевидно. В русской ономастике такая форма нехарактерна: в ней нет типичных фамильных суффиксов (-ов, -ев, -ин, -ский), а окончание -а в мужском роде указывает на то, что фамилия, скорее всего, не славянская, а заимствованная и адаптированная.

Первое, что приходит в голову при взгляде на корень «киг» — связь с тюркскими языками. В тюркских языках «кый» или «кыг» может означать «кривой», «изогнутый» или «острый». Слово «кыг» в некоторых диалектах (например, в казахском или киргизском) означает «грань», «ребро» или «лезвие». Отсюда могло возникнуть прозвище для человека с острым языком, резкого в общении или, наоборот, для мастера, работающего с острыми предметами (кузнеца, оружейника). Вторая часть — «гха» — может быть искажённым тюркским «га» (суффикс принадлежности) или результатом русской записи иностранного звука, которого нет в кириллице.

Вторая, более спорная гипотеза — связь с северокавказскими языками. В аварском или чеченском языках есть корни «кIиг» (два) или «кIаг» (стена, крепость). Если фамилия восходит к прозвищу «Киги», то «гха» могло быть поздним наращением или диалектной чертой. Однако эта версия менее вероятна: фамилии с таким финалом почти не встречаются в русских документах даже среди горских народов.

С точки зрения словообразования, фамилия Кигигха стоит особняком. Она не вписывается ни в одну из продуктивных русских моделей. Это говорит о том, что её носители — выходцы из среды, где фамилии складывались по другим правилам: либо это поздний документированный вариант при переписи, либо фамилия была искусственно зафиксирована писцом «на слух» без приведения к стандартному окончанию. Вероятнее всего, предки носителя фамилии — тюркоязычные народы (возможно, кумыки, ногайцы или татары), переселившиеся в центральные губернии России, где их прозвище записали так, как услышали.

География бытования фамилии сегодня практически не изучена. В открытых базах данных и телефонных справочниках Кигигха встречается единично, что подтверждает её редкость. Это не массовая фамилия, а скорее локальная, возможно, принадлежащая одному роду. Точных сведений о сословной принадлежности предков нет, но по косвенным признакам (отсутствие дворянских суффиксов, тюркская основа) можно предположить, что это были крестьяне или казаки, получившие фамилию по прозвищу, а не по имени отца.