Фамилия Кивлицкая — одна из тех, где географическая привязка почти наверняка первична, а суффикс -ск- указывает на дворянское или шляхетское происхождение, либо на формирование по месту жительства. В русской ономастике фамилии на -ский/-цкий чаще всего получали выходцы из шляхты (преимущественно польской, белорусской, украинской) или жители, переселившиеся из крупных сёл и городов. В случае с Кивлицкой основа «Кивл-» не имеет очевидных славянских корней, что заставляет искать её в топонимике.

Наиболее вероятное объяснение — происхождение от названия населённого пункта. В исторических польских и белорусских землях существовали и существуют места с корнем «Кивл-»: например, деревня Кивли (Kiwle) в бывшем Новогрудском воеводстве (ныне территория Беларуси) или урочища с похожим названием. Фамилия Кивлицкий (а женская форма Кивлицкая) образована по типичной модели «название села + -цкий», то есть «тот, кто родом из Кивлей». Такая модель была очень продуктивна в Речи Посполитой, а после разделов Польши перешла в российскую систему фамилий.

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с личным прозвищем. В некоторых говорах «кивля» могло означать нечто, связанное с кивком, поклоном или нерешительностью, однако убедительных диалектных данных для этого нет. В отличие от распространённых фамилий на -ов/-ин, где основа — имя или профессия, здесь топонимический след надёжнее.

Словообразовательная модель проста: корень Кивл- + суффикс -ицк- (вариант -ск- после мягкого согласного) + окончание -ая. Мужской вариант — Кивлицкий. Фамилия редкая, в списках массовых русских фамилий не встречается, что подтверждает её узкое географическое происхождение. В дореволюционных метрических книгах носители могли записываться как мещане или однодворцы, но, учитывая суффикс, не исключено и мелкопоместное дворянство — такие фамилии часто носили обедневшие шляхтичи, осевшие на своих хуторах.

Таким образом, если ваши предки — Кивлицкие, то с высокой долей вероятности их корни ведут в западные губернии Российской империи (Виленскую, Гродненскую, Минскую) или в современную Беларусь, а сама фамилия означает «выходец из деревни Кивли».