Фамилия Кивух — редкий случай, когда основа слова не даёт однозначной подсказки. В русских фамилиях суффикс -ух встречается нечасто, но он показателен: в восточнославянской традиции он образовывал прозвища от глаголов или прилагательных, часто с оттенком пренебрежения или шутки (сравните: «питух» — пьяница, «крикун» — от кричать). Однако основа «кив-» здесь неочевидна.

Самая прямая версия — от глагола «кивать». В старину кивком могли называть человека с характерной привычкой — например, того, кто постоянно кивал в разговоре, или, наоборот, того, кто кивал, поддакивая, чтобы избежать спора. В северных и центральных говорах слово «кивуля» означало «неряха» или «разиня» — возможно, отсюда же пошло и прозвище Кивух, которое потом закрепилось как фамилия.

Менее вероятно, но стоит упомянуть: в некоторых диалектах «кива» — это вид утки (чирок), и прозвище могли дать за внешнее сходство или повадки. Однако без географической привязки к местам бытования этого слова (например, Псковщина) эта версия остаётся гипотетической.

Фамилия встречается преимущественно в западных областях России и в Беларуси — это наводит на мысль о польском или белорусском влиянии. В польском языке есть слово «kiw» (кивок, движение) и глагол «kiwać», что делает версию с кивком ещё более правдоподобной для регионов, где фамилия фиксируется.

С точки зрения модели образования, Кивух — это типичная бессуффиксная фамилия (собственно, прозвище, перешедшее в фамилию без изменений). Окончание -ух здесь не фамильный суффикс вроде -ов, а часть основы, что говорит о древности прозвища: оно сложилось до того, как в русской антропонимии начали массово добавлять -ов/-ев.

Таким образом, предок носителя фамилии Кивух, скорее всего, получил прозвище за манеру кивать или за нерасторопность. Фамилия редкая, и её носители — либо потомки одного рода из западных регионов, либо результат независимого возникновения в разных местах у людей со схожей чертой.