Эта фамилия — исключительный случай, когда написание полностью расходится с реальной звуковой историей. Перед нами не редкое исконное образование, а, скорее всего, результат многократной ошибки при записи или переписи фамилии, которая изначально звучала иначе. В русской ономастике сочетание «Кка» в начале слова нетипично, а двойная «ыы» на конце практически невозможна в живой речи: в русском языке нет долгих гласных, которые бы передавались таким способом.

Самый вероятный сценарий — это искажение фамилии, которая в оригинале могла быть, например, Кокарев, Кокушкин, Кайсин или даже фамилия с корнем «кук-» (от прозвища Кука — нелюдимый, или от слова «кукла»). При небрежном прочтении рукописного текста «Ко» могли прочесть как «Кка», а суффикс «-ов» или «-ин» — как «ыы». Другая версия: фамилия могла быть образована от неканонического имени или прозвища с тюркским корнем, но и в этом случае запись «Ккаыы» не соответствует ни одной известной словообразовательной модели — ни русской, ни тюркской.

Если рассматривать чисто формально, то суффикс «-ыы» (если его вообще можно считать суффиксом) не существует в русском языке. Фамилии на «-ых», «-их» (например, Седых, Долгих) имеют окончание, а не суффикс, и пишутся с одной буквой. Двойное «ы» — это почти наверняка ошибка переписчика, который не разобрал окончание и механически продублировал букву.

Таким образом, носитель фамилии Ккаыы, скорее всего, держит в руках «паспортный» артефакт — следствие бюрократической ошибки XIX–XX века. Чтобы узнать истинное значение, нужно искать предков по документам, где фамилия могла быть записана в правильном, читаемом виде. Без архивной находки этимология этой фамилии остаётся загадкой, которую нельзя решить лингвистическими методами.