Фамилия Клеинюс — редкий случай в русском ономастиконе, и её разбор стоит начать с самого очевидного: окончание -юс здесь не русское, а литовское. Это не суффикс в привычном для нас понимании (как -ов или -ин), а типичное литовское фамильное окончание мужского рода. В Литве фамилии на -us, -is, -as — массовое явление, и Клеинюс (Kleinyus) вписывается в эту модель как вариант от основы *klein-.

Корень, скорее всего, немецкий или прусский. Слово klein по-немецки значит «маленький», «мелкий». В Восточной Пруссии и на землях бывшей Речи Посполитой немецкие прозвища нередко переходили в литовские фамилии через промежуточную стадию: немецкое Klein становилось литовским Kleinis или Kleinyčius, а на русской почве окончательно закрепилось как Клеинюс. Второй вариант — связь с литовским kleinas («гнутый», «кривой»), но он менее вероятен, потому что в таком случае фамилия писалась бы через «а»: Kleinas.

Исторически носитель такой фамилии мог быть выходцем из мелкопоместной шляхты или зажиточных крестьян западных губерний Российской империи — Ковенской, Виленской, Сувалкской. После разделов Польши и включения этих земель в состав России литовские фамилии не переделывали на русский лад, а оставляли почти без изменений, лишь приспосабливая к кириллице. Поэтому Клеинюс — не русифицированный вариант, а прямая запись литовской фамилии русскими буквами.

Если сравнивать с однокоренными, то в русской среде есть фамилия Клейн (без окончания) — её носили обрусевшие немцы. А Клеинюс — это уже литовская ветвь того же корня, со своим грамматическим оформлением. Встречается она редко, и географически привязана к северо-западу России, а также к Литве и Калининградской области.

Так что основная версия: предок человека с фамилией Клеинюс получил прозвище «маленький» (по росту, возрасту или положению) на немецком языке, а его потомки, жившие в литовской среде, оформили это прозвище по местной модели. Никакой связи с русскими суффиксами владения здесь нет.