Фамилия Клевська звучит по-польски или по-украински, и её разумнее всего рассматривать как женскую форму от мужской фамилии Клевський (или Клевский). В русской традиции фамилии на -ський/-цький обычно указывают на географическое происхождение: предок носителя был откуда-то родом или владел землёй. Основа здесь — топоним Клевань или Клеве. Клевань — известный поселок на Ровенщине (Украина), а также деревни с похожим названием есть в Польше (например, Klewiec). Если фамилия польская, суффикс -ський типичен для шляхты, но со временем такие фамилии распространились и среди крестьян.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным словом «клев» (птичий корм, место для кормления) или «клевать». В этом случае прозвище Клев могло относиться к человеку, который занимался разведением птицы или имел привычку клевать носом. Однако суффикс -ський (а не -ов или -ин) делает такую бытовую версию слабой: прозвища обычно переходят в фамилии на -ов/-ев/-ин, а не на -ський, если только не идёт речь о выходце из села Клево.

В польском написании фамилия могла выглядеть как Klewska, что указывает на вариант через «w». В украинском варианте Клевська — это стандартная женская форма, и в документах она могла встречаться у женщин, чьи мужья или отцы носили фамилию Клевський. Географически фамилия тяготеет к западным областям Украины и восточной Польше. В России она редка и чаще всего фиксируется у потомков переселенцев из этих регионов.

Если говорить о социальном контексте, то носители фамилии Клевський (мужская форма) в XIX веке могли быть как мещанами, так и крестьянами, реже — дворянами, если речь о польской шляхте из-под Клевани. Точных данных о сословной принадлежности без генеалогического поиска по конкретной семье нет.