Фамилия Клиянкина — женская форма фамилии Клиянкин, а та, в свою очередь, образована от прозвища или нецерковного имени Клиянка. Основа здесь прозрачна: корень «клиян-». Но что он значит? Самый прямой путь — к слову «клин» в одном из его старых значений. В русских говорах «клиянка» (или «клянка») могла означать деревянный клин, который вбивают в рукоятку инструмента для крепости. Прозвище Клиянка могли дать плотнику, столяру или любому мастеровитому человеку, чья работа была связана с деревом и подгонкой деталей.

Есть и другая, более редкая версия: «клиянка» — это диалектное название небольшого клинка, ножа. Тогда прозвище могло закрепиться за оружейником, кузнецом или просто человеком, носившим с собой нож. Оба варианта ведут к ремесленной среде, что типично для фамилий на -ин/-ын, образованных от прозвищ по профессии: чей? — Клиянкин, то есть сын или потомок Клиянки.

Суффикс -ин указывает на принадлежность, и такие фамилии чаще всего встречались в северных и центральных губерниях России, где модель «прозвище + -ин» была основной. Фамилия редкая, в современных справочниках почти не фиксируется, что говорит о её узколокальном происхождении — возможно, из одной-двух деревень в Вологодской или Архангельской области. Аналогов по модели — множество: Топорков, Ножкин, Молотков — все они из того же ряда ремесленных прозвищ.

Если сравнивать с однокоренными, то фамилия Клинков встречается гораздо чаще, но Клиянкина сохранила более архаичную, диалектную огласовку. Это не описка и не искажение при записи — в северных говорах «ия» на месте «и» перед «н» встречается (сравните: «клиять» — «клясть» в некоторых говорах). Так что носитель фамилии Клиянкина с высокой вероятностью потомок плотника или кузнеца из северорусской деревни, где предка прозвали по его рабочему инструменту.