Фамилия Клжемяко — одна из тех, что сразу обращает на себя внимание необычным звучанием и редким сочетанием согласных в начале. В ней почти наверняка угадывается польское или белорусское происхождение, и ключ к её разгадке лежит в суффиксе -яко. Этот суффикс характерен для фамилий, образованных в восточных регионах Польши (Подляшье, окрестности Белостока) и в западно-белорусских землях. Он выполняет ту же роль, что и русский -ов/-ев или украинский -енко: указывает на принадлежность — «сын такого-то» или «потомок такого-то». То есть Клжемяко — это буквально «сын Клжемы» или «человек из рода Клжемы».

Основа фамилии — прозвище Клжема. В польском языке слово «klęska» означает «поражение, бедствие, неудача». Сравните с польским глаголом «klęczeć» — «стоять на коленях» (отсюда же «klęcznik» — аналой). Скорее всего, прозвище Клжема дали человеку, который пережил какую-то тяжелую жизненную катастрофу — разорение, плен, потерю имущества. В средневековой Польше и Великом княжестве Литовском такие прозвища были распространены: они не столько оскорбляли, сколько фиксировали обстоятельство в биографии человека, чтобы отличить его от односельчан. Возможна и более прозаичная версия: прозвище могло относиться к человеку с покаянной, смиренной манерой поведения — «униженный», «покорный».

Написание фамилии через «Клж» на русский лад — почти буквальная передача польского «Klzę-». В польском языке буква «ę» читается как носовое «э», близкое к «ен», поэтому в русской транскрипции логично было бы ожидать вариант «Клженяко» или «Клзеняко». Однако закрепилось именно «Клжемяко» — возможно, под влиянием южнославянских или украинских говоров, где носовые звуки упрощались. Если ваш предок носил эту фамилию, ищите его корни на карте бывшей Речи Посполитой: в Подляском воеводстве Польши, в Гродненской или Брестской областях Беларуси. Фамилия малочисленна и вряд ли принадлежала шляхте — скорее, это фамилия крестьян или мещан, получивших прозвище за свою нелегкую судьбу.