Фамилия Коименко звучит как типичная украинская фамилия, и это верно: её выдаёт суффикс -енко, который в XVII–XVIII веках в Поднепровье и Слобожанщине означал «сын» или «потомок». В основе лежит прозвище Коима — и вот тут начинается самое интересное. Слово «коима» в украинских говорах имеет несколько значений, и выбор правильного даёт ключ к тому, кем был первый носитель.

Самая вероятная версия — профессиональная. В юго-западных диалектах «коима» — это нечто вроде «корзина» или «плетёнка», а в более широком смысле — мера для сыпучих тел, например зерна. Прозвище Коима могли дать торговцу, который мерил товар этой самой коимой, или же корзинщику, плелёвшему такие изделия. Менее распространённое, но тоже возможное значение — «ссора», «перебранка», от глагола «коити» (бранить). Тогда прозвище получил человек сварливый или склонный к спорам.

Встречается и версия, что корень восходит к тюркскому «койма» (залив, заводь) — так могли называть человека, жившего у речной заводи. Но для фамилии на -енко это менее характерно: такие прозвища чаще закреплялись на юге России, а не в украинской среде.

Таким образом, предки современных Коименко с высокой вероятностью были ремесленниками или мелкими торговцами в сёлах Левобережной Украины. Фамилия не дворянская и не казацкая старшина — она из народной среды, где прозвище по занятию или характеру давало начало целому роду.