Фамилия Коися — редкая и неочевидная с точки зрения русского словообразования. Если попытаться разложить её по привычной схеме «основа + суффикс», ничего не выйдет: окончание -я при беглом взгляде напоминает украинские или белорусские фамилии (типа Паливода, Непийпиво), но корень «коис-» в славянских языках не встречается. Ни «коить», ни «коиться» в значении «успокаивать» или «лечить» (диалектное) не дают осмысленного прозвища. Поэтому первая и самая вероятная версия — фамилия не славянская, а заимствованная, адаптированная на русской почве.

Скорее всего, Коися — это русифицированная форма финно-угорской или тюркской фамилии. В Поволжье и Приуралье, где века назад жили вперемешку русские, марийцы, удмурты, татары и чуваши, нередко возникали фамилии на -ся, -зя, -кай. Например, марийское имя Койса (от «кой» — «вид, облик») или тюркское прозвище Койсы (от «кой» — «овца» в переносном смысле «кроткий, смирный») могло при переписи превратиться в Коися. Русские писцы, не мудрствуя, записывали звучание на слух, и фамилия застыла в такой форме.

Вторая версия, менее правдоподобная, но возможная — искусственное происхождение. В XIX веке семинаристы иногда получали фамилии от латинских или греческих слов. Коися можно натянуть на греческое «койсис» (κοίησις) — нечто вроде «зачатие» или «возникновение», но это настолько надуманно, что скорее курьёз, чем реальная практика. Ни один известный словарь семинарских фамилий (например, работа Шереметевского) такой вариант не фиксирует.

Географически фамилия сегодня встречается единично, в основном на Урале и в Западной Сибири. Если ваши предки Коися — скорее всего, они выходцы из крестьян или мещан, без яркого сословного следа. Никаких знаменитых носителей в истории нет, что только подтверждает: фамилия осталась локальной, не вышла за пределы нескольких родов.