Фамилия Кркуковськая — редкий случай, когда написание сразу подсказывает, где искать её корни. Форма на -ськая (а не на -ская) — не опечатка и не вариант, а прямое указание на польское или западноукраинское происхождение. В польской ономастике суффикс -ski (в женском роде -ska) при заимствовании в украинский язык часто получал мягкий знак перед -ськ-, особенно в фамилиях, записанных по правилам украинской орфографии. Так что перед нами, скорее всего, украинизированная форма польской фамилии Krkukowski или, реже, Kurkowski.

Основа фамилии — Кркук — звучит необычно для славянского уха. Самый вероятный источник — прозвище или имя, образованное от корня крк- (вариант курк-, крук-). В польских и украинских говорах слово kruk означает «ворон», а krk может восходить к kark — «шея, затылок». Получается, что Кркук — это либо человек с характерной осанкой или толстой шеей, либо прозвище по птице (ворон — символ мрачности или долгожительства). Вторая версия: основа могла возникнуть из диалектного глагола krkać (каркать, хрипеть) — так могли прозвать обладателя хриплого голоса.

Географически фамилия Кркуковський/Кркуковська тяготеет к западу Украины — Волынь, Подолье, Галичина. Именно там в XIX веке активно записывали польские фамилии с сохранением мягкого окончания. В России и центральной Украине её бы переделали в Кркуковская или Круковская.

С точки зрения социального статуса, носитель такой фамилии в прошлом — вероятно, крестьянин или мещанин, получивший прозвище от соседей, которое затем закрепилось как фамильное имя. Дворянские роды с окончанием -ский часто образовывались от названий имений (например, Кркуково), но здесь основа слишком редкая и не топонимичная, чтобы предполагать шляхетское происхождение.

В написании фамилии есть одна тонкость: на конце стоит -я, а не -а. Это строго женская форма. Мужской вариант — Кркуковський. Если вы встретили фамилию в документах именно с -я, то её носительница — женщина, и мужчины из той же семьи будут писаться иначе.