Фамилия Куитьько сразу привлекает внимание необычным написанием — двойной мягкий знак перед конечным -ко. В русской ономастике такая орфография почти не встречается, поэтому первое, что приходит на ум: перед нами украинская или белорусская фамилия, записанная на слух, с характерным для этих языков смягчением и редукцией гласных. Скорее всего, исходная форма — Кутько или Кутька, а двойное «ьь» — ошибка переписчика или паспортиста, который старательно передал мягкость звука, но перестарался.

Основа фамилии — корень «кут-». В украинском и белорусском языках слово «кут» означает «угол», а «куток» — уголок, закуток, укромное место. Отсюда прозвище Кутька могли дать человеку, который жил на краю села, в отдалённом углу, или тому, кто любил уединяться, держался особняком. Суффикс -к- здесь уменьшительно-ласкательный, а окончание -о (вместо более привычного -а) характерно для южнорусских и украинских говоров при оформлении прозвищ в мужском роде.

Вторая версия, менее распространённая, но возможная: прозвище Кутька могло быть связано с диалектным глаголом «кутать» — укутывать, прятать. Тогда прозвище доставалось либо человеку, который кутался в одежду, либо тому, кто прятал вещи. Однако связь с «углом» выглядит убедительнее: географические прозвища по месту жительства — один из самых частых источников восточнославянских фамилий.

Фамилии на -ко с уменьшительными суффиксами — типичная украинская модель, особенно распространённая в центральных и северных областях Украины, а также на юге Беларуси. Если верить такому происхождению, предок носителя фамилии Куитьько был, скорее всего, крестьянином или ремесленником, получившим прозвище по месту обитания. Сословная принадлежность в данном случае не реконструируется: подобные фамилии встречались и у казаков, и у мещан, и у сельских работников.

Современная запись с двойным мягким знаком — почти наверняка дефект документа. Встречаются и варианты Кутько, Кутко, Кутечко. Если вы носите фамилию именно в таком виде, можно предположить, что ваши предки жили в регионе, где белорусское или украинское произношение записывали русские чиновники, не привыкшие к местной фонетике.