Фамилия Кувытченко — яркий пример южнорусской, точнее украинской, модели образования фамилий. Суффикс -енко (в безударной позиции часто переходящий в -єнко) — это уменьшительно-патронимический формант, который в XVI–XVII веках в Поднепровье и Слобожанщине стал главным показателем «сыновства»: Кувытченко буквально означает «маленький Кувытка» или «сын Кувытки». В отличие от великорусских фамилий на -ов/-ев, которые указывали на принадлежность отцу («чей?»), украинские фамилии на -енко передавали родство по прямой линии и в XVIII–XIX веках вытеснили старые прозвищные формы на территории современной Украины и прилегающих областей России.

Основа фамилии — прозвище Кувытка. Здесь возможны два объяснения, и оба связаны с характером или поведением. Первое, самое прямое: от глагола «кувыркаться», «кувыткаться» (в южных говорах — «кувыткать»). Так могли прозвать непоседливого, вертлявого человека, любителя кувыркаться, или, в переносном смысле, — человека непостоянного, «перевертливого». Второе, менее очевидное: в некоторых диалектах «кувытка» — это не только действие, но и предмет: так называли небольшой крюк или изогнутую палку, которой что-то подцепляли. Если верна эта версия, прозвище могло относиться к ремеслу — например, к бондарю или рыбаку, пользовавшемуся таким инструментом. Первая версия (по поведению) встречается в антропонимике чаще и правдоподобнее.

Фамилия закреплена в основном в южных и центральных областях России, а также в восточной Украине. Встречаются варианты написания: Кувытченко (с твёрдым «т») и Кувытченко (с мягким, что отражает местное произношение). В дореволюционных метрических книгах можно найти и форму Кувытченков — результат обрусения фамилии при переселении в великорусские губернии, где суффикс -ов добавляли к украинской основе для привычного звучания.

Однокоренные фамилии — Кувырков, Кувырзин, Кувычкин — все они восходят к тому же глаголу «кувыркать», но образованы по разным моделям. Кувытченко стоит в этом ряду особняком: оно не только указывает на прозвище, но и сохраняет в суффиксе память о том, что его носитель был именно сыном, а не просто потомком Кувытки. В списках казачьих полков и реестров XVIII века подобные фамилии на -енко встречаются сплошь и рядом — это был основной способ именования рядовых казаков и крестьян, не имевших наследственной дворянской фамилии.