Фамилия Куюбаев — редкая и географически привязанная. Её основа — имя или прозвище Куюбай (Куюба). Разберём, что это могло значить.

Первый и самый вероятный вариант — тюркское происхождение. В тюркских языках корень «кую» может означать «лить» (металл) или «закалять». Соответственно, Куюбай — это «богатый (бай) литейщик» или «закалённый бай». Вторая часть «бай» — распространённый компонент тюркских имён, указывающий на знатность, богатство или уважение. Таким образом, предок носителя фамилии мог быть мастером-литейщиком, кузнецом по металлу, либо человеком, получившим прозвище за твёрдость характера, «закалённость».

Второй вариант — связь с этнонимом «кубань» или «кубанцы». В некоторых говорах и диалектах тюркских народов «куюба» могло быть искажением названия реки Кубань или племени, жившего на её берегах. Тогда Куюбаев — это выходец из региона Кубани, «кубанец». Однако эта версия менее убедительна: суффикс «-бай» — типичный для личных имён, а не для географических названий.

Третий, более редкий вариант — от арабского имени Куяб (в значении «маленький, младший»). Но в таком случае фамилия скорее выглядела бы как Куябов. Форма Куюбаев с ударным «у» указывает на тюркскую огласовку.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе «Куюбай» добавили притяжательный суффикс «-ев» (после «й»). Это типичный способ русификации тюркских фамилий в XIX–XX веках. Встречается фамилия преимущественно у башкир, татар, казахов и других народов Поволжья и Урала. В России носители Куюбаевы живут в основном в Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях.

О социальном статусе предков сказать сложно: фамилия не древняя, фиксируется в метрических книгах не ранее середины XIX века. Скорее всего, это были государственные крестьяне или казаки. В дворянских родословных книгах Куюбаевы не отмечены.