Фамилия Кягер — редкий для России случай, когда фамилия не переделана на русский лад, а сохранила исходное немецкое или скандинавское звучание. Если вы встретили её в русском контексте, скорее всего, перед вами потомок балтийских немцев, шведов или финнов, переселившихся на территорию империи в XVIII–XIX веках.

В основе фамилии лежит немецкое слово Jäger (охотник). В немецком языке умлаут «ä» даёт звук «э», а не «я», поэтому исконное произношение — «Егер» или «Йегер». Русское написание «Кягер» передаёт искажённую транскрипцию, которая могла закрепиться при записи фамилии в паспорт или метрическую книгу: букву «J» прочитали как русскую «К» (по аналогии с «Кёльн» вместо «Cologne»), а умлаут записали как «я». Встречаются также варианты Кегер, Кёгер, Егер.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ер указывает на деятеля, носителя профессии. То есть Кягер — это «охотник». Однако в немецкой традиции Jäger — не только охотник на зверей, но и егерь, лесничий, а также солдат лёгкой пехоты (егерские полки). Поэтому предки носителя фамилии могли быть либо профессиональными охотниками, либо лесниками, либо военными из егерских батальонов, которых в России было много среди немецких колонистов.

Географически фамилия Кягер (как и Егер) распространена в Эстонии, Латвии, Финляндии и среди поволжских немцев. В России она встречается точечно, в основном в бывших немецких колониях Поволжья, в Ленинградской области и в Сибири (куда немцев выселяли в XX веке). По данным переписей, это одна из самых редких фамилий: на всю страну её носят не более нескольких десятков человек.

Если ваш предок — Кягер, то он почти наверняка был лютеранином, говорил по-немецки или по-шведски, и его фамилия не менялась веками, в отличие от русских крестьянских фамилий, которые часто переделывали. Это не русская фамилия, а принесённая переселенцами и застывшая в непривычном для русского уха написании.