Фамилия Кыйтыгашев — редкий случай, когда основа не славянская и не из привычных тюркских языков Поволжья, а хакасская. Носители фамилии сосредоточены в Хакасии и прилегающих регионах Южной Сибири. Чтобы понять её смысл, нужно разобрать имя, от которого она образована, а не искать корень в русском языке.

Фамилия происходит от мужского имени Кыйтыгаш (Кыйтыгас). В хакасском языке «кыйты» означает «крик», «возглас», а аффикс «-гаш» (или «-гас») образует уменьшительно-ласкательную форму. Имя Кыйтыгаш можно перевести как «Крикунчик» или «Тот, кто кричит». Скорее всего, так называли ребёнка, который громко и часто плакал, либо, в более широком смысле, человека с громким голосом. Такие имена-прозвища по поведению были типичны для традиционной хакасской антропонимии: они давались не в обиду, а как оберег или просто по заметной черте.

Суффикс «-ев» в конце — типичный русский патронимический суффикс, обозначающий принадлежность («чей?»). Он присоединился к хакасской основе в XIX–XX веках, когда у хакасов массово оформляли фамилии по русскому образцу. Таким образом, Кыйтыгашев буквально означает «сын Кыйтыгаша». Модель образования проста: имя + русский суффикс принадлежности.

Встречаются варианты написания: Кыйтыгашев и Кыйтыгасов. Второй вариант — более ранняя или диалектная форма, где тюркский суффикс «-ас»/«-ес» застыл в основе. Сравните с другими хакасскими фамилиями на ту же модель: Топоев (от имени Топой — «круглый»), Торточаков (от имени Торточак — «пестрый»). Все они образованы одинаково: личное имя + «-ев».

Социальный состав предков Кыйтыгашевых — обычные скотоводы и охотники, в советское время — колхозники и рабочие. Дворянских родов с такой фамилией не было, она целиком народная, сибирская. Если вы носите эту фамилию, ваши предки с высокой вероятностью жили в долине Абакана или на берегах Енисея.