Фамилия Лабежихин — редкий образец «ярославско-костромского» типа, образованного с помощью суффикса -их- и последующего -ин. Такая модель характерна для северных и поволжских говоров: сначала от прозвища или имени (Лабеж) делали семейное имя Лабежих — «семья Лабежа», а затем к нему приращивали патронимический суффикс -ин, получив Лабежихин — «из семьи Лабежих». Это не фамилия по отцу, а фамилия по роду, что указывает на крестьянское или посадское происхождение, где прозвище главы семьи переходило на весь двор.

Основа «лабеж» загадочна. Скорее всего, она связана с диалектным глаголом «лабезить» — льстить, подлизываться, угодничать. В таком случае прозвище Лабеж давали человеку вкрадчивому, умеющему обойти начальство, или, наоборот, тому, кого считали подхалимом. В ярославских и костромских говорах слово «лабеза» означало ещё и «непоседа» или «егоза» — отсюда второй возможный смысл: прозвище могли дать суетливому, вертлявому человеку.

Менее вероятна связь с «лабазом» (амбаром, лавкой) — для этого основа должна была бы звучать как Лабажихин. Или с тюркским «лабаш» (плохой) — такое заимствование возможно в южных регионах, но не для Поволжья, где фамилия зафиксирована. Географически Лабежихины встречаются в основном в Ивановской и Костромской областях, реже — в Ярославской, что подтверждает севернорусский характер суффикса -их-.

Поскольку фамилия недворянская, в дореволюционных списках её носители — крестьяне, мещане, ремесленники. В советское время она почти не покинула родные области: носителей по переписям — единицы. Если вы Лабежихин, ваши предки, скорее всего, жили в лесной полосе Верхней Волги, и прозвище им дали за характер — льстивый или беспокойный.