Фамилия Лауэнер — случай, когда география и язык подсказывают ответ быстрее, чем морфология. Это фамилия немецкого или австрийского происхождения, и её носители в России — потомки переселенцев, чаще всего из числа немцев Поволжья или Причерноморья.

Корень фамилии — топоним. Лауэнер (Lauener) образована от названия населённого пункта, например Лауэн (Lauen) в Швейцарии или Баварии, либо от реки Лауэ (Laue). Суффикс -er в немецких фамилиях — классический указатель на «откуда родом»: он присоединяется к названию места и даёт значение «житель такого-то места» или «выходец оттуда». Так, Лауэнер — это «человек из Лауэна» или «с берегов Лауэ». Аналогично образованы фамилии Берлинер, Гамбургер, Франкфуртер, только в русском языке они утратили связь с исходным топонимом и стали восприниматься как фамилии.

Вторая версия, менее вероятная, — происхождение от личного имени Лауэнц (Lauenz), диалектной формы имени Лоренц (Лаврентий). В этом случае фамилия была бы отчеством: «сын Лауэнца». Но для немецкой ономастики типичнее топонимический путь, особенно для фамилий на -er, которые редко образуются от имён напрямую.

В России фамилия Лауэнер встречается редко и локально — в Саратовской области, Краснодарском крае, а также в Сибири, куда немцев высылали в XX веке. Написание могло варьироваться: Лауенер, Лауэннер, но основа остаётся той же. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были немецкими колонистами, прибывшими в Россию по манифестам Екатерины II в конце XVIII века, и их родным языком был один из южнонемецких диалектов.