Фамилия Лдская — редкий случай, когда основа слова почти полностью «съедена» временем. На первый взгляд она выглядит как прилагательное в женском роде, образованное от названия места с помощью суффикса -ск-. Но если присмотреться, корень «Лд-» в русском языке практически не встречается. Самое очевидное, что приходит на ум, — связь со словом «лёд» (древнерусское «ледъ»). Однако фонетика здесь не сходится: в фамилии нет гласной «е», и «д» стоит сразу после «л», что для исконно славянского «ледъ» нетипично. Скорее всего, перед нами результат редукции: полная форма могла звучать как Ле́дская или Ля́дская, где гласная со временем выпала в безударном положении.

Версия с Ля́дской выглядит правдоподобнее. В основе — слово «ляда» или «лядина»: так в северных и центральных русских говорах называли запущенную, заросшую кустарником землю, которую расчищали под пашню. Человек, живший на таком участке или владевший им, получал прозвище Ляда, а его потомки — фамилию Лядский. В женском роде — Лядская. Со временем «я» могло перейти в «е» под влиянием акающих говоров, а затем и вовсе исчезнуть, оставив труднопроизносимое сочетание «Лд-». Такое стяжение — не редкость в фамилиях на -ский: ср. Смоленский → Смольский, где гласная выпала, но корень остался узнаваем.

Второй вариант — связь с географическим названием Ледь или Ледское. В России есть несколько мелких речек и урочищ с таким именем, но все они локальны и не образуют устойчивого фамильного гнезда. Если фамилия действительно топонимическая, то её носители, скорее всего, выходцы из одного конкретного места, которое сегодня уже не найти на карте.

Суффикс -ск- указывает на дворянское или шляхетское происхождение: в XVII–XIX веках такие фамилии чаще всего давали помещикам по названию их имения. Однако Лдская — не княжеская и не графская фамилия; скорее всего, это мелкопоместный род или позднее искусственное образование, когда крестьянам после отмены крепостного права давали «красивую» фамилию по названию деревни.

Мужская форма — Лдский — в современных источниках практически не встречается. Фамилия остаётся редкой, и её носители, вероятно, сосредоточены в одном регионе, возможно, в бывших Новгородской или Псковской губерниях, где были распространены лядины и говоры с редукцией гласных. Если у вас есть семейное предание о происхождении из конкретного села, это может прояснить, какая из версий верна.