Фамилия Лиогкхий — настолько редкий и необычный случай, что её происхождение приходится реконструировать почти по крупицам. В первую очередь бросается в глаза нехарактерное для русского языка сочетание «гкх»: это почти наверняка указывает на то, что фамилия не исконно русская, а была записана на слух или при переносе из другого алфавита.

Самая вероятная версия — южнославянское или греческое происхождение. В греческом языке существует слово «λιόγερμα» (лиогерма — «солнечный свет»), а также основа «λόγχη» (лонги — «копьё»), но для фамилии логичнее смотреть в сторону антропонимов. В греческих фамилиях часты окончания на -хий (-χης), например, Папахий, Стаматихий. Лиогкхий могло возникнуть как искажённое написание греческой фамилии, где буквосочетание передавало звук «χ» (хи). В русской записи «гкх» — попытка передать глухой заднеязычный щелевой, которого нет в русской фонетике, отсюда и странный вид.

Другая, менее очевидная версия — искусственное происхождение. В XIX веке в духовных семинариях нередко придумывали фамилии из греческих и латинских корней. Основа «лиог-» может быть связана с греческим «λυγος» (лигос — «светлый, ясный»), а суффикс -хий — типичное окончание для фамилий, образованных от имён типа Евтихий, Антихий. В этом случае Лиогкхий — книжная конструкция, означающая «светлый» или «ясный», данная, например, ученику с хорошим голосом или светлыми волосами.

Окончание -ий указывает на то, что фамилия, скорее всего, склоняется как прилагательное (Лиогкхий, Лиогкхого), но в бытовом употреблении её могли записать и как Лиогкий, отбросив «гкх» за ненадобностью. География фамилии практически не прослеживается — в открытых базах данных (переписи, метрические книги) она почти не встречается. Это может говорить о единичном случае записи, когда переселенец из Греции или Балкан был записан с ошибкой, и фамилия так и закрепилась за одной семьёй.

Учитывая редкость, однозначного толкования нет, но связь с греческим языком выглядит убедительнее всего. Если ваш предок был из числа греческих переселенцев (например, в Приазовье или Одессе), фамилия могла быть адаптирована при переходе из кириллицы в гражданский шрифт. В любом случае, Лиогкхий — яркий пример того, как письменная фиксация создаёт уникальный паспорт рода.