Фамилия Лкин — редкий случай, когда окончание -ин не указывает на принадлежность отцу, а является частью более сложной словообразовательной цепочки. В русских фамилиях суффикс -ин обычно присоединяется к основам на -а/-я (Петров — Петин, от Петя), но здесь основа заканчивается на «к», что сразу настораживает: стандартной модели «Лк-ин» в языке нет. Вероятнее всего, перед нами результат усечения или искажения более длинной фамилии.

Самая правдоподобная версия: Лкин — это сокращённая форма от фамилии Лакеин или Лакин. В основе лежит прозвище Лака, которое в русских говорах означало «лакомка», «сладкоежка» или даже «обжора». Человек, любивший поесть или привередливый в еде, мог получить такое прозвище. От него образовали фамилию Лакин («сын Лаки»), а в просторечии или при небрежном произношении гласная «а» редуцировалась, и фамилия закрепилась в форме Лкин. Подтверждение этой версии — существование реальной фамилии Лакин, пусть и нечастотной, а также однокоренных прозвищ (лакать — «пить с жадностью»).

Менее вероятная, но возможная версия отсылает к тюркскому имени Лукман (через форму Лукка или Лка). Однако для русского быта такой путь образования нетипичен: фамилии от восточных имён обычно сохраняют полную основу (Лукманов), а не усекают до одного слога.

Географически фамилия Лкин встречается крайне редко, в основном на юге России и в Поволжье — регионах, где исторически были сильны диалектные черты, допускавшие «проглатывание» гласных. Сословно носители этой фамилии, скорее всего, относились к крестьянам или мещанам: фамилии, образованные от бытовых прозвищ, редко встречались у дворянства.

Итог: фамилия Лкин — это не загадочный корень, а сокращение от Лакин. Ваш предок мог носить прозвище Лака, то есть любитель плотно поесть или выпить. Фамилия — живой след диалектного произношения, которое не всегда попадало в официальные документы.