Фамилия Лужайте — редкий случай, когда написание говорит о происхождении больше, чем корень. В русской традиции фамилии на -айте почти не встречаются, а вот в литовской ономастике это стандартный патронимический суффикс. Перед нами, скорее всего, литуанизированная форма: основа Luž- (от литовского lužti — «ломаться, трескаться») плюс суффикс -aitis, который в русской записи превратился в -айте. Так образовывали фамилии для сыновей: Лужайтис означало бы «сын Лужаса» или «сын того, кто ломает». При переезде в Российскую империю или при записи в метрические книги окончание могли адаптировать под русское произношение, закрепив форму Лужайте как фамилию в именительном падеже.

Вторая версия, менее вероятная, — что фамилия восходит к славянскому корню луж- (лужа, сырое место). Тогда суффикс -айте мог возникнуть из диалектного прозвища, например «лужайка» в значении «человек с луга» или «живущий у лужи». Но в русских фамилиях такие окончания нехарактерны: типичные формы были бы Лужин, Лужев, Лужайкин. Форма Лужайте явно выбивается из этой системы, что и указывает на литовский след.

Географически фамилия тяготеет к западным регионам бывшей Российской империи — современной Литве, западной Беларуси и Смоленщине, где исторически жили балтские народы. В документах XIX века Лужайте могли записывать как Лужайтис, Лужайте или даже Лужайт, в зависимости от языка делопроизводства. Носители фамилии, вероятно, были крестьянами или мелкими ремесленниками, поскольку патронимические фамилии на -aitis в Литве давали всем сословиям, но чаще — простым людям.

В современной России фамилия крайне редка и почти не встречается за пределами семей, сохранивших память о литовских или белорусских корнях. Споров о происхождении почти нет: литовская версия убедительнее с точки зрения словообразования. Если вы носите фамилию Лужайте, скорее всего, ваши предки были из балтской среды, а сама фамилия — следствие языкового контакта и адаптации чужой модели к русской письменности.