Фамилия Ляучюте — почти наверняка литовская, и её окончание сразу выдаёт носительницу женского пола. В литовской антропонимике суффикс -юте (-iūtė) — это стандартный патронимический (отцовский) суффикс для незамужних женщин. Он означает «дочь такого-то». Мужская форма той же фамилии будет Ляучюс (Liaučiūs), а замужняя женщина носила бы фамилию Ляучене (Liaučienė). Таким образом, Ляучюте — это «дочь Ляучюса» или «дочь человека по прозвищу Ляучюс».

Основа фамилии — Ляуч- (Liauč-). В литовском языке слово liauktis означает «переставать», «прекращать», «униматься». Учитывая, что прозвища в Литве нередко давались по характерным чертам поведения или свойствам характера, можно предположить, что первый носитель мужской формы Ляучюс мог получить прозвище за спокойный, уравновешенный нрав — «Уймись», «Тихий», «Тот, кто умеет остановиться». Однако прозвище могло быть и ироничным, данным человеку суетливому или неугомонному — в насмешку.

Версия с литовским корнем — основная и наиболее правдоподобная. Фамилия редкая, сконцентрирована в Литве, особенно в исторических регионах Жемайтия и Аукштайтия. В русском языке она сохранила своё написание без адаптации (окончание -юте, а не -юта), что тоже говорит о её недавнем (в историческом смысле) появлении на русскоязычной территории. Скорее всего, предки носительницы — литовские крестьяне или мелкие шляхтичи, получившие фамилию в XVII–XIX веках, когда в Литве окончательно закрепилась система наследственных фамилий с патронимическими суффиксами.