Фамилия Ляугминас — редкий случай, когда происхождение можно установить почти наверняка, но для этого нужно выйти за пределы русской ономастики. Это литовская фамилия, записанная в русской транскрипции. Её основа — литовское слово «liaukis» или диалектный вариант «liaugmė», что означает «железа». В современном литовском языке «liauka» — это железа (анатомическая). Суффикс «-inas» указывает на принадлежность: Ляугминас — буквально «тот, кто относится к железе» или, вероятнее, «сын (или потомок) человека по прозвищу Ляугма».

Прозвище Ляугма могло возникнуть по нескольким причинам. Самая вероятная — профессиональная: так могли назвать человека, который занимался лечением или удалением желёз, возможно, какого-то местного знахаря, костоправа или даже скотника, разбиравшегося в анатомии животных. Вторая версия — прозвище по внешности: если у человека была заметная шишка, опухоль или увеличенная железа на шее (зоб). В литовских говорах встречается слово «liaugė» в значении «шишка, желвак». Третья, менее правдоподобная, — от географического названия: в Литве есть несколько мелких хуторов с корнем «Liaug-», но такие топонимы обычно сами произведены от того же прозвища.

Словообразовательная модель проста: прозвище Ляугма (основа) + патронимический суффикс «-инас» (соответствует русскому «-ин» или «-ов»). В литовской традиции такие фамилии на «-инас» часто фиксировались у крестьян и мелких ремесленников, не принадлежавших к шляхте, которая предпочитала окончания «-ишкис» или «-явичюс». Поэтому предки носителя фамилии Ляугминас с высокой вероятностью были крестьянами или ремесленниками на территории исторической Литвы (современная Литва или западная Беларусь).

В русском контексте фамилия почти не встречается. Её носители могли появиться в России после присоединения литовских земель к Российской империи в конце XVIII века или в результате более поздних переселений. Склоняется она по правилам русской грамматики: Ляугминас, Ляугминаса, Ляугминасу. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Ляугми́нас.