Фамилия Медьери звучит для русского уха необычно, и это не случайно. Её происхождение — венгерское, и в русском языке она является относительно поздним заимствованием. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, образованных при помощи суффиксов -ов/-ев, -ин или -ский, фамилия Медьери сохранила свой венгерский суффикс -и, который в мадьярском языке указывает на происхождение из какого-либо места. Буквально её можно перевести как «из Медье» или «медьерский».

Основа фамилии — «медьер» (венг. magyar). Это самоназвание венгерского народа. Таким образом, Медьери — это фамилия, которая изначально указывала на национальность или, что вероятнее, на географическое происхождение её носителя из местности, населённой венграми, либо из села или города с корнем «мадьяр» в названии. В Венгрии и соседних регионах существует несколько топонимов, производных от этого слова.

В русском языке фамилия появилась, скорее всего, благодаря переселенцам из Австро-Венгрии, а также через еврейское население, которое нередко получало фамилии по месту жительства. В конце XIX — начале XX века многие носители фамилии Медьери мигрировали в Российскую империю, а затем и в СССР. Фонетически фамилия адаптировалась: ударение в русском языке чаще падает на второй слог — Медье́ри, хотя в оригинале оно может быть иным.

Разбор фамилии по модели показывает, что она не имеет типичного для русских фамилий суффикса принадлежности. Это так называемая «чистая основа» с иноязычным окончанием, что сразу выдаёт её нерусское происхождение. С точки зрения словообразования, Медьери — это притяжательное прилагательное в венгерском языке, которое со временем застыло в роли фамилии.

Предки человека с такой фамилией, вероятнее всего, были либо этническими венграми, либо жителями территорий с венгерским влиянием (современные Венгрия, Словакия, Румыния, Закарпатье). Социальный статус мог быть разным: от крестьян до ремесленников и мелких торговцев. Фамилия не указывает на дворянское происхождение, но и не исключает его — в Венгрии существовали знатные роды с подобными фамилиями, образованными от названий местностей. В России же носители Медьери — это, как правило, потомки тех, кто переехал в страну в поисках работы или спасаясь от войн.