Фамилия Менладшна — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает исходное звучание. Скорее всего, перед нами результат искажения при записи или переписи, и под этой оболочкой скрывается другая, более распространённая фамилия. Первое, что бросается в глаза — сочетание «дш», которое нехарактерно для русских словообразовательных моделей. В русском языке нет суффиксов -дш- или -дшн-, поэтому фамилию не разобрать по привычной схеме «основа + суффикс -ин/-ов».

Вероятнее всего, исходная форма звучала как Менладзе, Менладшвили или Менладзе-швили. Грузинские фамилии на -дзе (означает «сын») и на -швили («ребёнок») при адаптации в русских документах нередко записывались на слух, а поскольку твёрдый звук [дз] в русском языке отсутствует, его могли передавать как «дс» или «дш». Отсюда и могло возникнуть «Менладшна» — попытка записать фамилию вроде Менадзе или Менадшвили. Корень «мен-» встречается в грузинских именах и фамилиях (Менабде, Менагаришвили) и может восходить к слову «мена» — «поле», «нива», либо к личному имени Мена.

Вторая версия, менее вероятная, — что фамилия имеет тюркские или кавказские корни с основой «менли» (от тюркского «мен» — «я», либо «менли» — «родинка»). В таком случае окончание «-шна» могло появиться при записи через делопроизводство, где фамилию «переделали» под русское окончание -ин, но с грубой ошибкой. Однако и здесь форма «Менладшна» остаётся аномальной.

Географически фамилия могла возникнуть на юге России, в казачьих областях или в Закавказье, где в XIX–XX веках активно смешивались русские, грузинские и тюркские фамилии при переписях населения. По сословию носители могли быть крестьянами или мещанами, но точных данных нет.

Таким образом, основная версия — это искажённая грузинская фамилия, скорее всего Менадзе или Менадшвили. Если у вас есть сведения о регионе, откуда родом предки, это поможет сузить поиск. В любом случае, написание «Менладшна» — редкий и трудный для этимологии случай, и его стоит проверять по архивным записям начала XX века.