Фамилия Микужайтэ — редкий для русской традиции случай, который почти наверняка ведет в Литву. Её выдает окончание: -айтэ (в оригинале -aitė) — это классический литовский суффикс, образующий женские фамилии от мужских. Мужской вариант здесь — Микужайтис (Mikūžaitis). Литовская система фамилий до сих пор различает пол: если вы видите Микужайтэ, то перед вами фамилия женщины, а её отец или муж носил бы вариант на -ис.

Основа фамилии — Микуж- — скорее всего, восходит к литовскому имени Микус (Mikus), которое является уменьшительной формой от Миколас (литовский вариант Николая). Суффикс -айт- в литовском языке означает «сын» или «потомок». Таким образом, Микужайтис буквально значит «сын Микуса», а Микужайтэ — «дочь (или жена) Микуса». В XIX веке, когда в Российской империи шла массовая фиксация фамилий, литовские крестьяне, не имевшие наследственных родовых имен, часто получали фамилии именно по такой отчества-патронимической модели.

Интересная деталь: написание через «э» на конце (Микужайтэ вместо Микужайте) выдает русифицированную передачу. В литовском языке буква ę читается как носовой звук, близкий к «э», но на письме её часто заменяли русским «е» или «э» при записи в метрических книгах. Если ваши предки записаны именно как Микужайтэ, это может указывать на то, что носительница фамилии жила в местности со смешанным русско-литовским населением (например, на территории бывшей Ковенской или Виленской губернии), где писарь передал литовское окончание на слух.

Других версий происхождения, по сути, нет: корень однозначно литовский, а попытки связать его со славянскими «миг» или «мигать» — натяжка, так как фонетика не сходится. Фамилия недворянская, «народная» — её носили преимущественно крестьяне и мещане Западного края. Сегодня в России она встречается единично, чаще всего у потомков литовцев, переселившихся в Сибирь или центральные области в XX веке.