Фамилия Млаиновсакая — редкий и, скорее всего, искажённый на письме вариант. Скорее всего, перед нами опечатка или результат многократной перезаписи фамилии в документах. Если исходить из распространённых русских фамильных моделей, наиболее вероятная исходная форма — Малиновская.

Основа фамилии — топоним или прозвище, связанное с малиной. Суффикс -ск- указывает на географическое происхождение: такую фамилию получали выходцы из села или местечка с названием Малиново, Малиновка, Малин. Таких населённых пунктов в России, Украине и Белоруссии десятки, поэтому фамилия Малиновская — одна из самых частых среди «польских» по форме (с окончанием -ский/-ская). В дворянской среде такие фамилии закреплялись за шляхтой, но в крестьянской среде их давали по месту жительства или приписки, нередко — при переписях, когда человека записывали как «из Малинова» — Малиновский.

Реже фамилия могла возникнуть от прозвища Малина — так могли назвать человека с румяным лицом, сладкогласого или, наоборот, любителя малины. Но в случае с окончанием -ская топонимическая версия убедительнее.

Что касается написания «Млаиновсакая» — это явная графическая ошибка: перестановка букв «и» и «а», а также пропуск или смещение «в» и «с». В старых метрических книгах и паспортах начала XX века такие искажения встречались сплошь и рядом — писарь мог записать фамилию на слух, а потом её переписывали с ошибками. Возможно, предки носителя — из малограмотной среды, где фамилию произносили как «Млаино́вская» (с ударением на «о»), а в документах закрепилась случайная форма.

Если ваша фамилия именно «Млаиновсакая», а не «Малиновская», то стоит проверить архивные записи: в дореволюционных источниках могло быть и «Млаиновская» — с утратой одной буквы из-за акающего говора. Но по всем словообразовательным законам русского языка, правильный исторический вариант — Малиновская.