Фамилия Момцелидзе — верный признак грузинского происхождения. Её выдают суффиксы, которые в грузинском языке работают как маркеры региона или социального слоя. В данном случае мы имеем дело с двумя элементами: -ели и -дзе.

Основа фамилии — «момц» (მომც). Она восходит к грузинскому глаголу «міца» (მიცა) — «давать», «вручать», «жаловать». Соответственно, «момцели» (მომცელი) — это «дающий», «податель», «жалователь». Слово могло быть прозвищем щедрого человека, но с не меньшей вероятностью — именем-оберегом, которое давали ребёнку, чтобы он вырос добрым и нежадным.

Суффикс -ели указывает на деятеля: «тот, кто совершает действие». А суффикс -дзе — «сын» (в западной Грузии, особенно в Имеретии, Гурии, Аджарии). То есть Момцелидзе буквально означает «сын дающего». Фамилии на -дзе — одни из самых массовых в Грузии, они фиксируют патроним, а не ремесло или место жительства.

В отличие от фамилий на -швили (тоже «сын», но восточногрузинских), -дзе чаще встречается в западных регионах. Поэтому предки Момцелидзе, скорее всего, жили в Западной Грузии, возможно, в Имеретии или Аджарии. Точной привязки к одному селу или городу нет — фамилия редкая, и её носители рассеяны по разным районам.

В русском языке фамилия не склоняется, если принадлежит мужчине (Иван Момцелидзе, с Иваном Момцелидзе), и склоняется, если принадлежит женщине (Анна Момцелидзе, с Анной Момцелидзе) — это общее правило для фамилий на -дзе.

Спорных версий у этой фамилии почти нет: корень прозрачен для грузинского уха, а суффиксы типичны. Единственное, что может сбить с толку, — случайное созвучие с русским словом «момент», но это чистая случайность, никакой связи тут нет.