Фамилия Мовсарова — женская форма фамилии Мовсаров, а та, в свою очередь, образована от мужского личного имени Мовсар. Это имя — одна из форм чеченского имени Мовсар, которое, по наиболее распространённой версии, восходит к арабскому «маусар» (счастливый, удачливый). Встречается и версия, связывающая имя с тюркским корнем со значением «богатство, изобилие», но она менее убедительна, так как имя устойчиво бытует именно в среде вайнахских народов (чеченцев, ингушей).

География фамилии в основном привязана к Чеченской Республике, Ингушетии и регионам, куда переселялись горцы в XIX–XX веках. Встречается она и в Дагестане, и среди чеченской диаспоры в других странах. Модель образования проста: к основе Мовсар- добавился русский патронимический суффикс -ов (в мужском варианте) и окончание -а (в женском). Такая русификация фамилий была массовой в XIX веке при документальном оформлении горского населения Российской империи.

Если говорить о социальном контексте, то Мовсаровы, скорее всего, происходят из свободных общинников — чеченское общество не знало крепостного права, и фамилия указывает на родовую принадлежность, а не на сословную иерархию. Среди однокоренных фамилий — Мовсаев, Мовсаров, Мовсаршоев (последняя — с таджикским суффиксом). Встречается и вариант написания с одной «с» — Мосарова, но он редок и может быть следствием ошибки в паспортном учёте.

Коротко: фамилия Мовсарова — чеченская по корню, русская по оформлению, указывает на имя предка, которому желали удачи и счастья.