Фамилия Мроог — редчайший случай в русской ономастике. Она не вписывается ни в одну привычную словообразовательную модель: нет суффикса -ов, -ин, -ский, нет окончания, свойственного русским фамилиям. Короткая, «рубленая», с двойным «о» в конце — такой облик почти наверняка говорит о нерусском происхождении, причем не из соседних славянских языков, а из совсем другой языковой семьи.

Скорее всего, перед нами фамилия прибалтийско-финского или, что вероятнее, немецкого корня, которая попала в русскую среду через письменную фиксацию. В немецком языке есть фамилия Mroog — её можно встретить среди потомков балтийских немцев или меннонитов. Основа могла восходить к нижненемецкому или фризскому прозвищу, связанному с личным именем или родом занятий, но точная этимология затемнена. Двойное «о» на конце — это не русский суффикс, а фиксация немецкого написания: в оригинале фамилия могла звучать как «Мроок» или «Мрог», а при записи в метрические книги или паспортные документы букву «к» могли прочитать как две «о» или просто записать на слух с растянутой гласной.

Версия о происхождении от финского или карельского корня менее правдоподобна: в этих языках нет слов с начальным «мр-». Зато в немецком сочетание «Mr-» встречается в фамилиях, заимствованных из славянских языков или образованных от личных имен. Возможно, Mroog — вариант фамилии Mrozek или Mroczek (от польского mrok — «мрак, тьма»), который при переезде в немецкоязычную среду изменил окончание и написание.

В России эта фамилия практически не встречается. Если она и есть, то носители — потомки обрусевших немцев, переселившихся в Поволжье или на юг империи в XVIII–XIX веках. В советское время написание могли «обрусить», убрав лишнюю букву, но если фамилия сохранилась в форме Мроог — значит, её зафиксировали именно так в паспорте или в документах репрессированных. Поиск по архивам и базам данных, скорее всего, выдаст единичные записи, и каждая из них — отдельная семейная история, связанная с миграцией и сменой языка.