Фамилия Мцыри — редкий случай, когда слово не обрастало веками в крестьянской или мещанской среде, а появилось в русском антропонимиконе из литературы. Её единственный и прямой источник — одноимённая поэма Михаила Лермонтова (1839 год). В переводе с грузинского «мц́ири» означает «послушник» или «монах без пострига» — молодой человек, живущий при монастыре. Никакой древней, поколениями передававшейся фамилии «Мцыри» не существует: это искусственное, книжное образование.

Как фамилия она могла возникнуть двумя путями. Первый — сознательное присвоение. В XIX — начале XX века выпускники духовных семинарий иногда брали себе звучные фамилии по названиям поэм, библейских мест или отвлечённых понятий. «Мцыри» вполне могла достаться пономарю или учителю Закона Божьего, желавшему выделиться. Второй путь — прозвище. В среде, где читали Лермонтова, одинокого, угрюмого или замкнутого человека могли прозвать «Мцыри» — по аналогии с героем. Если такое прозвище закреплялось за родом, оно переходило в фамилию, но массового распространения не получило.

Словообразовательная модель здесь проста: фамилия представляет собой чистое заимствование без типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский). Она стоит в ряду таких же литературно-книжных фамилий, как Демон, Измаил, Онегин, Печорин. Отсутствие суффикса — главная примета её позднего, «кабинетного» происхождения.

Встретить фамилию Мцыри можно крайне редко, в основном в городской среде и, вероятно, у потомков духовенства или интеллигенции. Поиск по базам данных показывает единичные случаи в России и на постсоветском пространстве. Если вы носите эту фамилию, скорее всего, ваш предок был человеком книжной культуры или получил прозвище от окружающих за сходство с лермонтовским героем. Других, более древних корней у неё нет — это чисто русское литературное наследие, превратившееся в фамилию.