Фамилия Муъъук — случай редкий и в русской ономастике почти не встречающийся. На первый взгляд она не вписывается в привычные модели образования русских фамилий: нет суффиксов -ов, -ин, -ский, нет окончания, типичного для прилагательного. Скорее всего, перед нами не исконно русская, а заимствованная фамилия, записанная кириллицей по принципу транслитерации.

Наиболее вероятная версия связывает её с тюркскими или кавказскими языками. В них встречаются корни, передаваемые на русский как «мук» или «мух», со значениями «печать», «штамп», «знак», а также «горе», «печаль» (ср. арабское «мук» через тюркское посредство). Удвоение буквы «ъ» (твёрдый знак) в середине слова — необычный орфографический приём. В тюркских языках твёрдый знак не используется, но при передаче на русский он мог появиться для обозначения гортанной смычки или долготы гласного, которую иначе не передать. Таким образом, «Муъъук» — это попытка точно записать звучание, где после «у» следует гортанный призвук, а не мягкость.

С точки зрения словообразования, это фамилия без суффикса, то есть застывшая в форме прозвища или имени. В русской традиции так оформлялись фамилии украинского или белорусского происхождения (например, Гриб, Коваль), но здесь основа явно иноязычная. Встречается она, по всей видимости, у потомков народов Северного Кавказа, Закавказья или тюркских групп (кумыки, ногайцы, азербайджанцы), где фамилии нередко оканчиваются на согласный и не имеют русского патронимического суффикса.

Если исходить из значения корня «мук» как «печать», предок мог быть писарем, чиновником, человеком, ставящим печати, или же прозвище получил за характерную черту — например, за привычку оставлять метки. Версия со значением «горе, печаль» возможна, но менее вероятна для фамилии: такие прозвища давали редко, и они обычно не закреплялись в качестве наследственного именования.

Поскольку фамилия крайне редкая и не фиксируется в массовых базах данных русских фамилий (словари Унбегауна, Никонова, Веселовского её не упоминают), её география, скорее всего, ограничена одним-двумя родами, возможно, переселившимися в русскоязычную среду в XX веке. Точное происхождение можно установить только через семейные предания или архивные документы по конкретному региону — Дагестану, Чечне, Азербайджану.