Фамилия Мявря — редкий случай, когда исходное слово почти не оставило следов в современном языке, но легко восстанавливается по логике словообразования. Основа здесь — «мя́вря», а суффикс отсутствует: фамилия оформлена как чистая основа без патронимических суффиксов -ов, -ев или -ин. Такая модель (прозвище → фамилия без изменений) типична для украинских, белорусских и южнорусских фамилий, особенно если носитель был записан в реестры или метрики уже в XVIII–XIX веках.

Корень «мяв-» — звукоподражательный, родственный «мяукать». В русских говорах «мявря» или «мявра» могло означать плаксу, нытика, человека с гнусавым или жалобным голосом. В рязанских и тульских диалектах «мяврить» — хныкать, капризничать. Вероятно, прозвище Мявря получил ребёнок или взрослый, который часто хныкал, либо человек с тихим, «кошачьим» голосом. Прямой связи с кошкой нет: в народной речи «мявря» — именно про человека, а не про животное.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с диалектным «мяурить» (медлить, копаться, делать неохотно). В этом случае Мявря — прозвище медлительного или ленивого человека. Такое толкование встречается в северо-западных говорах (псковские, новгородские), но для фамилии Мявря географических привязок почти нет: она не частотна ни в одном регионе России, встречается единично.

По социальному происхождению — скорее всего крестьянская или мещанская фамилия. Отсутствие суффикса указывает на позднее закрепление: в XIX веке, когда крестьянам массово давали фамилии, прозвище могли записать как есть, без переделки. Фамилия Мявря не упоминается в классических ономастических словарях — ни у Унбегауна, ни у Веселовского, ни у Никонова, что подтверждает её редкость.

Интересная деталь: при склонении фамилия ведёт себя как существительное женского рода (Мявря, Мяври, Мяврю), хотя носителем может быть мужчина. Это типично для украинских фамилий на -я (Сотник, Паливода), но в русской среде встречается реже и часто вызывает путаницу при заполнении документов. Если ваш предок — Мявря, скорее всего, он был выходцем из малороссийских губерний или пограничья с Белоруссией.