Фамилия Мюдьбегр — редкий случай, когда внешне немецкая или скандинавская конструкция на поверку оказывается искусственной, скорее всего, книжного или позднего происхождения. В ней нет ни одного живого суффикса, типичного для русских фамилий (-ов, -ин, -ский), что сразу указывает: перед нами не крестьянское или купеческое прозвание, а либо поздняя канцелярская запись, либо сознательное конструирование.

Разбираем слово по частям. Первая часть «Мюдь» в русском языке не встречается, но близка к тюркскому или финно-угорскому корню, например, «мюд» (монг. «мөд» — дерево, лес) или «мюд» в значении «медный» (от тюрк. «мис» — медь). Вторая часть «бегр» — искажённое тюркское «бек» или «бег» (господин, князь) с добавлением окончания -р, которое могло появиться при записи на слух: «бегр» вместо «бек» или «беги». Вместе «Мюдьбегр» может означать «медный князь» или «лесной господин» — прозвище, которое давали либо зажиточному ремесленнику-меднику, либо человеку, владевшему лесными угодьями.

Однако есть и другая версия, более прозаичная. Фамилия могла возникнуть в среде русских немцев или прибалтийских переселенцев. Немецкое «Müde» (усталый) и «Bär» (медведь) при слиянии могли дать «Müdebär» — «усталый медведь». Русский писарь, записывая фамилию на слух, легко превратил «Müdebär» в Мюдьбегр, заменив «bär» на «бегр» по аналогии с тюркскими титулами. Такое искажение характерно для XIX века, когда в паспортные книги попадали фамилии, переиначенные чиновниками.

География фамилии почти не прослеживается. Мюдьбегр не встречается в массовых списках крестьянских или дворянских родов Российской империи. Это значит, что носителей было крайне мало — возможно, одна-две семьи, осевшие в южных губерниях (где сильны тюркские влияния) или в Поволжье, среди немецких колонистов. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были людьми грамотными — мелкими чиновниками, священниками или ремесленниками, — потому что именно такие социальные группы чаще всего получали фамилии, записанные «на глаз» и с ошибками.

Итог: фамилия Мюдьбегр — не природная, а канцелярская или искусственная. Её основа — либо тюркское прозвище «медный князь», либо немецкое «усталый медведь», переиначенное при записи. Точная версия зависит от региона проживания вашей семьи: если предки жили на юге или в Сибири, скорее тюркский след; если в Поволжье или Прибалтике — немецкий.