Фамилия Наатыж — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с живым произношением, а происхождение уходит в адыгские (черкесские) языки. Встречается она в основном среди адыгов, кабардинцев и черкесов, а также у потомков мухаджиров (переселенцев XIX века) в Турции, Сирии и Иордании. Если вы носитель этой фамилии, скорее всего, ваши предки с Северного Кавказа.

Словообразовательная модель здесь не славянская, а адыгская. Основа «наатыж» (или «натъыжъ») восходит к адыгскому «натъэ» — «глаз», и суффиксу «-жъ» (или «-жь»), который обозначает старый, ветхий или давний. Буквально «наатыж» можно перевести как «старый глаз» или «давний глаз». Вряд ли это прозвище человека с плохим зрением. Скорее всего, так могли назвать дальновидного, прозорливого человека, который «видит далеко» или помнит старые времена. В адыгской культуре такие прозвища часто давали старейшинам или мудрецам.

Есть и другая версия, менее вероятная: «наатыж» может быть искажённым вариантом от «натъыжъ» — так в некоторых диалектах называли орла или крупную хищную птицу (от «натъэ» — глаз и «жъы» — старый, то есть «старый орёл»). В этом случае фамилия могла быть тотемной или указывать на внешнее сходство с этой птицей.

Суффикс «-жъ» (или «-жь») в адыгских фамилиях встречается нечасто, он придаёт основе значение «старый, бывший, прежний». Это отличает фамилию от более распространённых моделей на «-ко» (ку) или «-ху». Географически фамилия тяготеет к Кабардино-Балкарии и Адыгее, но из-за вынужденного переселения в XIX веке многие носители оказались за рубежом. В России фамилия крайне редкая, её можно встретить в единичных записях в республиках Северного Кавказа.

В написании возможны варианты: Наатыж, Натыж, Натъыж. Разница в передаче твердого знака и гласных — это особенности русской транскрипции адыгских звуков. Единого стандарта нет, поэтому в документах у разных ветвей семьи может быть разное написание.