Фамилия Нагрели — редкий случай, когда прозвище не спряталось за суффиксом, а осталось в почти неизменном виде. В русской ономастике фамилии на -и обычно указывают на притяжательность или множественность (чьи? — Нагрелины, Нагрелёвы), но здесь мы видим форму множественного числа родительного падежа: «из дома Нагрели». Такая модель типична для южнорусских, украинских и белорусских земель, где фамилии нередко закреплялись в виде «готового» прозвища семьи: Нагрели, Нагрелины, Нагрелёвы.

Основа фамилии — глагол «нагреть». Но не стоит думать, что предок работал истопником или кузнецом. В говорах «нагреть» имело переносное значение: «нагреть руки» — незаконно обогатиться, поживиться, обмануть. Прозвище Нагрела могли дать человеку ловкому, ушлому, умеющему извлечь выгоду из любой ситуации. Вторая версия, более прозаичная: «нагреватель» — тот, кто топит печи, бани, плавит металл. Но глагольная форма «нагрели» (сделали что?) скорее указывает на конкретный случай, поступок, а не на профессию. Возможно, прозвище закрепилось за семьёй после какого-то памятного события: «те, кто нагрели (обманули, нагрели помещение)».

Суффикса -ов/-ев здесь нет, что говорит о позднем закреплении фамилии — в XIX веке, когда крестьянам массово давали фамилии по уличным прозвищам без дополнительной обработки. В документах фамилия могла писаться как Нагрели, Нагрелые, Нагреловы — в зависимости от региона. Сравните с однокоренными: Нагреев, Нагретдинов (татарское влияние), Нагреба (от «нагребать»). Но Нагрели стоит особняком — это «застывшая» форма множественного числа, которая редко встречается в официальных списках.

Географически фамилия тяготеет к югу России и востоку Украины, особенно к бывшим землям Войска Донского и Слобожанщине, где такие «глагольные» фамилии (Держи, Ходи, Бери) были в ходу. Сословно — почти наверняка крестьянская или казачья, без дворянских корней.