Фамилия Невожай — одна из тех, что выбивается из общего ряда необычным звучанием и загадочной основой. Чтобы понять её смысл, нужно отбросить современное восприятие слова «вожак» и обратиться к диалектам и старым промыслам.

Корень здесь — «вож-», связанный с вожжами, управлением, но не с лидерством, а с конкретным действием. «Вожать» в северных и сибирских говорах означало «править лошадью», «управлять санями или телегой». «Вожай» — это возница, кучер, погонщик. А частица «не-» в фамилиях часто выполняла не отрицательную, а усилительную или характеризующую роль, как в фамилиях Некрасов, Неустроев, Негодяев. То есть Невожай — это не «тот, кто не правит», а наоборот, прозвище лихого, неутомимого, «неуёмного» возницы, который постоянно в пути. Другая, менее вероятная версия, рассматривает связь с диалектным словом «невожа» — неопытный, незнающий человек, но в таком случае фамилия скорее писалась бы как Невожаев.

Фамилия образована по редкой модели без суффикса, напрямую от прозвища (Невожай → сын Невожая). Такие «чистые» формы без патронимических -ов/-ев или -ин характерны для украинской и белорусской традиции, но встречаются и в южнорусских регионах. Встречаемость фамилии крайне низкая, она не входит в списки распространённых. Носители Невожай живут преимущественно на юге России и в восточной Украине, что подтверждает гипотезу о её происхождении из среды ямщиков или крестьян, занимавшихся извозом. В XIX веке прозвище могло закрепиться за человеком, который славился тем, что «всё время в дороге» или правил лошадьми без отдыха.