Фамилия Незабудкин образована по довольно прозрачной, но не самой частой модели: от названия цветка незабудки с помощью суффикса -ин. В русской ономастике фамилии на -ин обычно принадлежали людям, чьё прозвище или мирское имя оканчивалось на -а/-я. Исходное прозвище Незабудка могло быть дано человеку по разным причинам: за особую память, за то, что он никогда не забывал об обещаниях, или, напротив, за назойливость — как ироничное прозвище тому, кто постоянно напоминал о себе. В народной культуре незабудка ассоциировалась с верностью и постоянством, поэтому прозвище могло быть и ласкательным.

Суффикс -ин в данном случае указывает на принадлежность: «чей сын?» — Незабудкин, то есть сын Незабудки. Такая модель типична для северных и центральных регионов России, где фамилии на -ин особенно распространены. Фамилия не относится к самым древним — скорее всего, она оформилась в XVII–XVIII веках, когда прозвища из цветочного ряда начали закрепляться как наследственные. Сравните с однокоренными фамилиями Незабудко (украинская модель) или Незабудов (с суффиксом -ов, что реже для такой основы).

Интересно, что фамилия Незабудкин почти не встречается в дворянских родословных — она бытовала в крестьянской и мещанской среде. Географически её чаще можно встретить на Вятке, в Пермской и Костромской губерниях, где любили прозвища, образованные от растений. В современной России фамилия редкая, но не исчезнувшая: по данным открытых телефонных справочников, носители живут в основном в Поволжье и на Урале.

В словаре русских фамилий Б. Унбегауна эта фамилия не упоминается, что косвенно подтверждает её локальный характер. Зато она есть в региональных ономастических работах — например, в исследованиях фамилий Вятского края. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни именно там.