Фамилия Новакщва — настолько редкий и нестандартный случай, что первое, что приходит в голову: перед нами, скорее всего, не исконная русская фамилия, а результат искажения при записи или опечатка. Ни один из известных ономастических словарей (ни Унбегауна, ни Никонова, ни Веселовского) не фиксирует подобной формы. В русской фамильной системе суффикс -щв- — явление аномальное. Стандартные модели заканчиваются на -ов, -ев, -ин, -ский, -их, -ых, реже на -ич, -ук, -енко. Сочетание «щва» не вписывается ни в одну из них.

Скорее всего, исходная фамилия — Новак или Новаков. Фамилия Новак — одна из самых распространённых в славянском мире (в Польше, Чехии, Словакии, Украине, Белоруссии). В основе — прозвище «новак», то есть новичок, новый человек, пришелец, недавно поселившийся в деревне. Так на Руси и в соседних землях называли переселенца, который только обзавёлся хозяйством, либо молодого неопытного человека. Фамилия фиксируется с XV–XVI веков.

Если же мы имеем дело с реальной, а не ошибочной записью «Новакщва», то напрашивается версия о польском или белорусском следе. В польских фамилиях встречается окончание -ski (-ska), но -щва — не польское. А вот в западнорусских (белорусских) говорах могла произойти контаминация: к основе «Новак» приросло окончание, похожее на женский вариант фамилии (типа Новацкая), но записанное на слух как «Новакщва». Либо это крайне искажённая форма фамилии Новацкевич, где «цк» перешло в «щ».

В любом случае, если вы носитель фамилии Новакщва, с высокой вероятностью ваш предок был либо переселенцем, либо новым поселенцем в каком-то селе, а сама фамилия претерпела сильное изменение при переписи или в эмиграции. Самый надёжный способ узнать корни — проверить документы XIX — начала XX века (ревизские сказки, метрические книги) по тем регионам, откуда родом семья: скорее всего, в них фамилия будет записана иначе, ближе к исходной форме.