Фамилия Одбаяр — редкая, и её происхождение почти наверняка не славянское. В русском языке у неё нет привычных суффиксов (-ов, -ин, -ский), которые указывали бы на патроним или принадлежность. Это сразу подсказывает, что перед нами либо искусственная фамилия советского времени, либо иноязычная, адаптированная при записи.

Наиболее правдоподобная версия связывает Одбаяр с монгольским или бурятским языком. В этих языках «од» — звезда, а «баяр» — радость, праздник. Сложив части, получаем «звёздная радость» или «радость звезды». Такие составные имена (Одбаяр, Баярсайхан, Цэцэгмаа) типичны для монгольской ономастики. Фамилией, а не личным именем, оно могло стать при паспортизации бурят в первой половине XX века, когда отчество или родовое имя записывали как фамилию. Носитель фамилии Одбаяр — почти наверняка потомок бурят или калмыков, чей предок носил это имя.

Менее вероятный вариант — тюркское происхождение, где «од» могло означать «огонь» (ср. турецкое «od»), а «баяр» — «богатый, господин». Тогда значение сместилось бы к «огненный господин». Но эта гипотеза слабее, так как в тюркских языках сочетание «од» + «баяр» не встречается как устойчивая именная модель, а в монгольской — встречается.

Географически фамилия тяготеет к Бурятии, Иркутской области и Забайкальскому краю. В центральной России или на Украине она почти не встречается. Написание через «о» в первом слоге — устоявшееся, хотя в монгольском оригинале ударение может падать на второй слог: Одбая́р. Склоняется фамилия по правилам мужского рода: Ивану Одбаяру, с Петром Одбаяром. В женском варианте не склоняется, если носительница — женщина.

Социальный контекст прост: предки носителя — скотоводы, охотники или крестьяне из азиатской части России, получившие фамилию при советской записи. Никакого дворянства или купечества за ней не стоит, но это делает её ценной как маркер конкретного региона и этнической группы.