Фамилия Одриосола почти наверняка имеет баскское происхождение. Об этом говорит её характерное окончание -ола, которое в баскском языке является уменьшительным или локативным суффиксом, часто указывающим на место («место, где много чего-то»). Словообразовательная модель здесь прозрачна: основа «одрио» плюс суффикс «сола» (вариант -ola), что в сумме даёт значение «местечко Одрио».

Сама основа «Одрио» — это топоним, название населённого пункта. В Стране Басков, на севере Испании, существует муниципалитет Одриосола (Odriozola) в провинции Гипускоа. Таким образом, фамилия Одриосола — это типичная топонимическая фамилия, которую давали человеку по месту его жительства или происхождения: «тот, кто из Одриосолы». В баскской ономастике такие фамилии на -ола крайне распространены (сравните: Агирресола, Уркисола).

В русском контексте фамилия встречается редко и, скорее всего, попала к нам через потомков баскских эмигрантов или через смешанные браки. Фонетически она могла немного адаптироваться, но сохранила исконное ударение на предпоследний слог (Одриосо́ла). Никакой славянской этимологии у неё нет — это чистый пример того, как географическое название превратилось в родовое имя, и предки носителя этой фамилии, вероятно, жили в небольшом баскском селении или рядом с ним.