Фамилия Огрынкун с большой вероятностью имеет украинское или польское происхождение. Её основа — слово «огри́нок», которое в украинских говорах означает «огрызок», «недоеденный кусок» (например, яблока). Суффикс -ун в украинской и польской антропонимии образует названия лиц по характерному действию или свойству: хвастун, ворчун. Соответственно, Огрынкун — это тот, кто постоянно грызёт, обкусывает, оставляет огрызки. Прозвище могло закрепиться за человеком с привычкой грызть ногти, семечки или просто за тем, кто ел неаккуратно.

Фамилия не встречается в списках русского дворянства и распространена локально. По данным открытых источников, носители фамилии Огрынкун живут на Украине (преимущественно в западных областях, например, во Львовской и Ивано-Франковской), а также в Польше, где фамилия могла писаться как Ogrynkun. В России эта фамилия крайне редка и встречается в основном у потомков переселенцев с Украины.

Обращает на себя внимание необычный финальный элемент -кун. В украинских фамилиях более типичны окончания -енко, -ук, -чук. Вариант -кун встречается реже и может указывать на адаптацию польского суффикса -kun (уменьшительно-уничижительное значение). Таким образом, Огрынкун — это не просто «огрызок», а «маленький огрызок» или «тот, кто связан с огрызками», что усиливает пренебрежительный оттенок прозвища.

Скорее всего, предок носителя этой фамилии получил прозвище в среде крестьян или мещан. В XIX веке, при массовом закреплении фамилий, это прозвище перешло в наследственное именование. Фамилия не имеет отношения к тюркским или кавказским корням, как можно было бы предположить по звучанию — это чисто славянская модель, основанная на бытовом наблюдении за поведением человека.