Фамилия Охиринеть — редчайший случай в русской ономастике, и её разбор требует осторожности. Скорее всего, перед нами не исконно русская фамилия, а позднее заимствование или результат искажения на письме. В русском языке нет корня «охирин-» с понятной семантикой, и суффикс «-еть» для русских фамилий нехарактерен (обычны -ов, -ин, -ский). Поэтому первая версия: это транслитерация иностранной фамилии, например, украинской, польской или еврейской. В украинском языке возможна основа «Охир» (вариант имени Ахир, Ахирій), а суффикс «-неть» мог возникнуть при адаптации польского окончания «-нец» (ср. Охиринець → Охиринеть). Если так, фамилия означает «потомок Охира» (от греческого имени Ахирий, реже — от тюркского «охир» — «конец»).

Вторая версия — фамилия искусственная, семинарская. В духовных училищах XVIII–XIX веков ученикам нередко давали фамилии по придуманным корням или переводили на греческий/латынь. «Охиринеть» могло возникнуть от греческого «охриос» (бледный, желтоватый) или как переделка слова «охрипнуть» (с намёком на слабый голос). Но это предположение без подтверждения в словарях.

Третья версия — опечатка или ошибка в документах. Фамилия могла быть Охирин, Охрименко или Охирня, а при переписи неграмотный писарь записал её на слух: «Охиринеть» как «Охиринет» (с твёрдым знаком на конце). В этом случае истинная фамилия — Охирин (отчество от имени Охир) или Охиринец (указание на место — село Охирино).

География фамилии не прослеживается: в современных базах данных (например, «Живые фамилии России» или «Всероссийская перепись») носители почти не встречаются. Это говорит о крайней малочисленности рода. Если вы носитель этой фамилии, скорее всего, ваши предки жили на западе бывшей Российской империи (Украина, Беларусь) или в смешанных польско-украинских районах, где фамилии на «-еть» изредка фиксируются (ср. Болеть, Криветь).

Итог: фамилия неоднозначна, но наиболее вероятна версия о её западнорусском или украинском происхождении от имени Охир. Родственных фамилий — Охирин, Охиренко, Охирчук — больше, и они лучше изучены. Если у вас есть семейные предания, они могут пролить свет на истинный корень.