Фамилия Орнес — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение лежит за пределами славянских земель. Это не крестьянское прозвище и не производное от православного имени: Орнес — фамилия норвежская или фарерская, скандинавского корня. В Норвегии она встречается в форме Ørnes и состоит из двух частей: ørn («орёл») и nes («мыс»). Буквально — «Орлиный мыс». Так могли называть хутор или усадьбу, стоящую на выдающемся в море скалистом выступе, где гнездились орлы. Соответственно, первые носители фамилии — это люди, жившие на таком мысу или владевшие землёй с таким названием.

В России фамилия Орнес — явный след скандинавского влияния, но не времён варягов, а гораздо более позднего периода. Скорее всего, её привезли в XIX или начале XX века норвежские подданные: моряки, инженеры, лесопромышленники, работавшие на Русском Севере или в портах Балтики. Встречается она и в среде российских немцев и финнов — через них фамилия могла попасть в метрические книги Петербургской губернии, Карелии или Мурманской области.

С точки зрения русского словообразования фамилия необычна: у неё нет суффикса -ов, -ин или -ский, которые переделывали бы иноязычную основу под местный лад. Орнес осталась без изменений — это признак позднего заимствования, когда фамилию уже не адаптировали, а записывали как есть, по паспорту. Поэтому искать в ней «корень орёл» и суффикс -ес неверно: русское ухо слышит знакомое «орёл», но на деле это совпадение, а не родство.

Встречаемость фамилии в России крайне низкая. По открытым данным переписей и телефонных справочников, Орнес — единичные семьи, сосредоточенные в основном в Санкт-Петербурге, Петрозаводске и Мурманске. То есть именно там, где исторически были контакты со скандинавами. Если ваши предки носили эту фамилию в Российской империи, почти наверняка они были выходцами из Норвегии или Финляндии (где фамилия тоже встречается, но реже).

Других версий — ни тюркской, ни финно-угорской — у этой фамилии нет. Спор мог бы возникнуть вокруг написания: в норвежском диграф ø передаётся по-русски как «ё» или просто «о», отсюда возможны варианты «Ёрнес» или «Эрнес». Но в документах укоренилось именно Орнес — так проще для русского произношения.