Фамилия Ошайц — редкая и сразу привлекает внимание своим окончанием. В русском языке фамилии на -ц обычно указывают на западное, чаще польское или украинское, происхождение. Однако здесь мы имеем дело с суффиксом -айц, который встречается в фамилиях, образованных от географических названий или прозвищ по месту жительства. Скорее всего, основа Ошай- восходит к названию населённого пункта — например, Ошай, Ошаево или подобное. В таком случае фамилия Ошайц означает «выходец из Ошая» или «тот, кто родом из Ошая». Подобная модель образования (топоним + -ец/-ц) типична для украинских и белорусских фамилий: скажем, Львовец, Черниговец.

Другая, менее вероятная версия связывает фамилию с личным именем или прозвищем. В некоторых говорах «ошай» могло означать «ошибка», «промах» или быть диалектным вариантом «ошалелый», «бешеный». Тогда Ошайц — это «сын Ошая», то есть человека, получившего такое прозвище. Но эта гипотеза слабая, потому что суффикс -ц в русской патронимической модели почти не встречается — для этого обычно брали -ов/-ев или -ин. Гораздо логичнее географическая привязка.

Если опираться на реальные ономастические источники, фамилии на -айц в основном фиксируются в западных регионах бывшей Речи Посполитой: на Волыни, Подолье, в Галиции. Там же встречаются и топонимы с корнем Ош- (например, Ошаны, Ошмяны). Носители фамилии Ошайц, скорее всего, происходят из этих земель. В дореволюционной России фамилия могла писаться через «и» или «ы» (Ошаиц, Ошайц), и её носители принадлежали к мещанскому или крестьянскому сословию — дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Сравните с однокоренными фамилиями: Ошаев, Ошанин — они образованы по другой модели и встречаются чаще. Ошайц же стоит особняком и сохраняет связь с конкретным местом. Если вы носите эту фамилию, имеет смысл поискать в метрических книгах Волынской или Подольской губерний — там могут найтись прямые предки.