Фамилия Ощгрощждоь — это, скорее всего, не русская, а искусственная или сильно искажённая запись. В русском языке, как и в других славянских, не существует словообразовательной модели, которая могла бы породить такое сочетание согласных. В ней нет ни одного из типичных фамильных суффиксов (-ов, -ин, -ский, -их), а основа «ощгрощжд» не имеет корней ни в одном из известных наречий или диалектов. С высокой вероятностью, это результат опечатки, перевода другой письменности (например, с латиницы в кириллицу без учёта правил транслитерации) или сознательно придуманная комбинация букв, не имеющая исторической глубины.

Если мы попробуем разложить её на части, то увидим, что «ощ-» может напоминать древнерусское «ощь» (отец) или глагол «ощутить», но «-грощждоь» не поддаётся анализу. В ономастике такие фамилии называют «тёмными» или «гапаксами» — единичными случаями без этимологии. Возможно, предок носителя был записан в документе с грубой ошибкой писаря, или же фамилия была изменена при переезде в другую страну, где исходное звучание было записано по слуху, а потом переведено обратно в кириллицу.

Единственное, что можно сказать с уверенностью: эта фамилия не входит ни в один из известных словарей русских фамилий (Унбегауна, Никонова, Веселовского). Она не связана ни с ремеслом, ни с географическим названием, ни с личным именем. Если вы встретили её в реальном документе, стоит проверить оригинал: возможно, правильное написание — что-то вроде «Ощгрощдов» (с суффиксом -ов) или «Ощгрощдой» (с окончанием -ой). Без контекста происхождения (страна, регион, эпоха) установить значение фамилии Ощгрощждоь невозможно — это лингвистический артефакт, а не историческая фамилия.