Фамилия Падубоцкая — женская форма фамилии Падубоцкий, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Окончание -цк(ий) указывает на географическое происхождение: такую фамилию обычно получал человек, владевший землёй или живший в местечке с названием на -цк, -ск или -цко. Скорее всего, предок носителя фамилии был выходцем из села или усадьбы, название которой сегодня уже не найти на карте, но оно звучало как Падубок, Падубцы или Падубск.

Основа «Падуб-» прозрачна: это белорусское или украинское слово «падуб» — так называют падуб остролистный, вечнозелёный кустарник с красными ягодами. В славянских говорах «падубом» могли называть и дуб, растущий в низине, у воды (от «па-» и «дуб»). Фамилия могла возникнуть и как прозвище: человека, жившего возле зарослей падуба, или того, кто по характеру напоминал это колючее, цепкое растение.

Интересна география фамилии. Падубоцкие встречаются в основном на западе Беларуси и в восточной Польше — на землях бывшего Великого княжества Литовского. Там суффикс -цкий был особенно распространён среди шляхты, но не обязательно означал дворянство: в XIX веке такую форму часто давали крестьянам при переписи, если они происходили из конкретного хутора или деревни. В России фамилия редкая, что говорит о локальном характере её возникновения.

Можно сравнить с однокоренными фамилиями: Падубский, Падубов, Падубенко. Падубоцкая стоит особняком — суффикс -цк- с ударением на предпоследний слог (Падубо́цкая) типичен для западнорусских и польских земель. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в Гродненской или Брестской областях, а также в Подляском воеводстве Польши.