Фамилия Паоеноегш — редчайший случай в русской ономастике, и её происхождение почти наверняка не связано с исконно славянскими корнями. Первое, что бросается в глаза — нехарактерный для русского языка набор согласных и гласных. Скорее всего, это результат искажения, транслитерации или переосмысления иноязычной фамилии при записи в документах. Наиболее вероятная версия — фамилия могла возникнуть из финно-угорского или прибалтийского субстрата, где подобные сочетания звуков встречаются чаще. Например, основа могла быть связана с коми-пермяцким или удмуртским словом, обозначающим природный объект или занятие, но из-за многократных ошибок писцов она приобрела современный вид.

Если разбирать словообразовательную модель, то суффикс -егш или -огш не встречается в типичных русских фамильных формантах (-ов, -ев, -ин, -ский, -их). Это ещё одно подтверждение, что фамилия не прошла стандартную адаптацию. Возможно, в основе лежит прозвище или географическое название, записанное на слух. К примеру, в прибалтийско-финских языках есть корни, которые при русификации могли дать «пао» (от слова «дерево» или «голова») и «ен» (уменьшительный или принадлежащий суффикс), а затем фамилия обросла окончанием, которое в русской канцелярии восприняли как часть фамилии.

Спорных версий немного, и все они слабые. Попытка вывести фамилию из греческого или немецкого языков наталкивается на отсутствие внятной этимологии. Единственная правдоподобная гипотеза — это искусственное или случайное образование, когда фамилия была дана по названию деревни или хутора, который исчез, или же это описка, закрепившаяся в паспорте. Никаких известных носителей с такой фамилией в исторических источниках не зафиксировано, что делает её уникальной и, вероятно, принадлежащей одной или нескольким родственным семьям.

Географически стоит искать следы на северо-западе России, в Карелии или в Пермском крае, где финно-угорское влияние особенно сильно. Если вы встретили эту фамилию, скорее всего, ваши предки жили в отдалённой местности, где фамилии фиксировали «на слух», без строгих правил, и исходное прозвище или название места дошло до нас в сильно изменённом виде.