Фамилия Павлодский — редкий случай, когда географическое название напрямую легло в основу, но с неочевидным финалом. Если вы ищете связь с именем Павел, то она есть, но не прямая: фамилия образована не от имени, а от топонима — населённого пункта с названием вроде Павлод, Павлода, Павлоды. В русской ономастике суффикс -ский (в женском роде -ская) почти всегда указывает на происхождение из определённой местности: «тот, кто родом оттуда-то». Таким образом, первый носитель фамилии был, скорее всего, выходцем из села или деревни, именовавшейся Павлоды или Павлодск.

Сама основа «Павлод-» выглядит нестандартно. В отличие от распространённых Павлов, Павловский (от Павел), здесь мы видим редкую словообразовательную модель. Скорее всего, топоним Павлоды возник от прозвища или некалендарного имени Павлода — человека, которого как-то связывали с именем Павел, но с местным диалектным окончанием. Либо название села было дано по фамилии первых поселенцев, а уже от него пошли Павлодские. В любом случае, суффикс -ск- здесь работает как указатель на «дворянскую» или «шляхетскую» модель, хотя на практике фамилии на -ский носили не только дворяне, но и духовенство, мещане и крестьяне, особенно в западных губерниях Российской империи.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и белорусским землям, где топонимы с окончанием -ы (Павлоды) встречаются чаще. В центральной России её почти нет. Это значит, что предки Павлодских могли быть крестьянами или однодворцами, переселившимися в другие регионы, но сохранившими память о родной деревне в фамилии. Вариант Павлодский — единственно верный для этой фамилии; путать её с Павловским не стоит, это разные по происхождению роды.

Споров вокруг этимологии почти нет: альтернативная версия, что фамилия произошла от прозвища Павлода (например, от «павлода» — так в некоторых говорах называли павлина), слаба и не подтверждается ни словарём Веселовского, ни работами Унбегауна. Павлин дал бы фамилию Павлинский или Павлинов, а не Павлодский. Поэтому уверенно держимся версии топонимической: ваши предки — люди из места, которое называлось Павлоды.